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∨ Disyunción_
La disyunción une dos proposiciones con la palabra «o». La expresión p ∨ q es verdadera cuando al menos una de las dos es verdadera, incluidas ambas a la vez. Solo es falsa cuando p y q son falsas. Este «o» inclusivo es el que se usa por defecto en matemáticas.
Tabla de verdad: p ∨ q
| p | q | p ∨ q★ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Clasificación: Contingencia · 4 filas
Definición
La disyunción de p y q, escrita p ∨ q, es falsa únicamente cuando las dos proposiciones son falsas. En los tres casos restantes es verdadera. El símbolo ∨ proviene del latín vel («o» inclusivo), en contraste con aut («o» exclusivo).
Notaciones alternativas: p | q o p || q (programación), p + q (álgebra booleana) y p OR q (electrónica). La calculadora acepta ∨, | y +.
Cómo se lee
p ∨ q se lee «p o q» y, cuando hace falta ser preciso, «p o q, o ambas». Por ejemplo, «puedes pagar con tarjeta o en efectivo» se formaliza como p ∨ q, y nada impide que pagues parte con cada método.
En español el «o» cotidiano es a veces exclusivo («¿té o café?»). En lógica, si quieres ese sentido excluyente debes usar la disyunción exclusiva ⊕, no ∨.
Cuándo es verdadera
La tabla tiene cuatro filas. Con p = V y q = V, p ∨ q = V. Con p = V y q = F, p ∨ q = V. Con p = F y q = V, p ∨ q = V. Con p = F y q = F, p ∨ q = F.
Tres filas verdaderas y una falsa: p ∨ q es una contingencia. Para recordarlo, piensa en sumar ceros y unos con tope en 1: 0 + 0 = 0 y cualquier otra suma da 1.
Ejemplo cotidiano
Un descuento aplica si «eres estudiante o eres mayor de 65». Un estudiante lo recibe, una persona de 70 años lo recibe, y un estudiante de 70 años también. Solo queda fuera quien no cumple ninguna de las dos condiciones.
En programación, if (esAdmin || esPropietario) permite el acceso cuando se cumple cualquiera de las dos condiciones.
Propiedades y equivalencias
Conmutativa: p ∨ q ≡ q ∨ p. Asociativa: (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r). Idempotente: p ∨ p ≡ p. Elemento neutro: p ∨ 0 ≡ p. Elemento absorbente: p ∨ 1 ≡ 1.
Distributiva sobre la conjunción: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Absorción: p ∨ (p ∧ q) ≡ p. Tercero excluido: p ∨ ¬p es una tautología.
Equivalencias con otros operadores: p ∨ q ≡ ¬(¬p ∧ ¬q) (De Morgan), p ∨ q ≡ ¬p ⇒ q (implicación material) y p ∨ q ≡ ¬(p ↓ q), es decir, la disyunción es la negación del NOR.
Errores comunes
Tratar ∨ como exclusivo. En lógica p ∨ q es verdadera cuando ambas lo son. Si un enunciado dice «una cosa o la otra, pero no ambas», el operador correcto es ⊕.
Equivocar De Morgan: ¬(p ∨ q) equivale a ¬p ∧ ¬q («ni p ni q»), no a ¬p ∨ ¬q. Y olvidar la precedencia: ∧ se evalúa antes que ∨, así que p ∨ q ∧ r significa p ∨ (q ∧ r).
Expresiones equivalentes
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Leyes y reglas relacionadas
Equivalencia lógica
Ley de De Morgan (disyunción)
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
Equivalencia lógica
Ley distributiva de ∨ sobre ∧
(p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
Ley fundamental
Principio del tercero excluido
p ∨ ¬p
Regla de inferencia
Silogismo disyuntivo
((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q
Equivalencia lógica
Implicación material
(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)
Equivalencia lógica
Ley de absorción
(p ∨ (p ∧ q)) ⇔ p
Preguntas frecuentes
¿p ∨ q es verdadera si p y q son ambas verdaderas? ▼
Sí. La disyunción lógica es inclusiva: es verdadera cuando al menos una de las proposiciones lo es, incluidas las dos a la vez. Solo es falsa si ambas son falsas.
¿Cuál es la diferencia entre ∨ y ⊕? ▼
∨ es el «o» inclusivo (verdadero con una o con ambas). ⊕ es el «o» exclusivo (verdadero solo con exactamente una). Difieren únicamente en la fila p = V, q = V.
¿Cómo se niega una disyunción? ▼
Con la ley de De Morgan: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. Negar «p o q» equivale a afirmar «ni p ni q».