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⇏ Negación del condicional_
La negación del condicional, escrita p ⇏ q, afirma que «p no implica q»: p es verdadero y sin embargo q es falso. Es la única situación en la que el condicional p ⇒ q falla, así que p ⇏ q ≡ ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q. Entenderla es entender qué hace falta para refutar una implicación.
Tabla de verdad: p ⇏ q
| p | q | p ⇏ q★ |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | F |
| F | F | F |
Clasificación: Contingencia · 4 filas
Definición
p ⇏ q es verdadera cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso, y falsa en los otros tres casos. Es exactamente la tabla de p ⇒ q con todos los valores invertidos.
En la mayoría de los libros no aparece como operador independiente; se escribe ¬(p ⇒ q). La calculadora lo ofrece como símbolo propio ⇏ para mostrar el paso en una sola columna.
Cómo se lee
p ⇏ q se lee «p no implica q», «p pero no q» o «p sin q». Todas estas lecturas describen un contraejemplo a la implicación «si p, entonces q».
Cuándo es verdadera
La tabla tiene cuatro filas. Con p = V y q = V, p ⇏ q = F. Con p = V y q = F, p ⇏ q = V (el único caso verdadero). Con p = F y q = V, p ⇏ q = F. Con p = F y q = F, p ⇏ q = F.
Una fila verdadera y tres falsas: es una contingencia con la misma distribución que la conjunción, y no es casualidad, porque p ⇏ q ≡ p ∧ ¬q.
Ejemplo cotidiano
Alguien afirma: «si estudias, apruebas». Para refutarlo necesitas un caso concreto de alguien que estudió y no aprobó: p ∧ ¬q. Eso es exactamente p ⇏ q. Un estudiante que no estudió (p falso) no sirve como contraejemplo, sin importar si aprobó o no.
Propiedades y equivalencias
Definición: p ⇏ q ≡ ¬(p ⇒ q). Forma conjuntiva: p ⇏ q ≡ p ∧ ¬q. También p ⇏ q ≡ ¬(¬p ∨ q) por De Morgan.
No es conmutativa: p ⇏ q y q ⇏ p son verdaderas en filas distintas ((V, F) y (F, V) respectivamente). La segunda coincide con p ⇍ q, la negación del condicional inverso.
Errores comunes
Pensar que negar «si p entonces q» da «si p entonces no q» (p ⇒ ¬q). No es así: la negación de un condicional es una conjunción, p ∧ ¬q, no otro condicional.
Creer que basta con que q sea falso para refutar p ⇒ q. Si p también es falso, el condicional sigue siendo verdadero por vacuidad; el contraejemplo exige p verdadero.
Expresiones equivalentes
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿La negación de «si p entonces q» es «si p entonces no q»? ▼
No. La negación de p ⇒ q es p ∧ ¬q: p ocurre y q no. «Si p entonces no q» (p ⇒ ¬q) tiene una tabla distinta y es verdadero, por ejemplo, cuando p es falso.
¿Cuántas filas verdaderas tiene p ⇏ q? ▼
Solo una: p = V, q = F. Es el único contraejemplo posible al condicional p ⇒ q.
¿Cómo se escribe p ⇏ q con operadores básicos? ▼
Como p ∧ ¬q, o de forma equivalente ¬(¬p ∨ q).