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Ley de De Morgan (disyunción)_
La segunda ley de De Morgan dice que negar «p o q» equivale a afirmar «no p y no q»: ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q). Es la única forma de que una disyunción sea falsa: que ambas partes lo sean. Como la primera ley, es una tautología y una herramienta esencial para simplificar condiciones negadas.
Ejemplo
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
Significado de las variables
- ▸ p: «El archivo está vacío»
- ▸ q: «El archivo está corrupto»
En palabras
«El archivo no está vacío ni corrupto» equivale a «no es cierto que esté vacío o corrupto».
Tabla de verdad
| p | q | p ∨ q | ¬(p ∨ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∧ ¬q | ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)★ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F | V |
| V | F | V | F | F | V | F | V |
| F | V | V | F | V | F | F | V |
| F | F | F | V | V | V | V | V |
Clasificación: Tautología · 4 filas
Enunciado
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q). Al distribuir la negación, la disyunción se convierte en conjunción y cada parte queda negada.
El lenguaje natural la expresa con «ni… ni…»: «ni vacío ni corrupto» es la conjunción de dos negaciones.
Por qué es una tautología: lectura de la tabla
Fila p = F, q = F: p ∨ q es F y su negación V; ¬p y ¬q son V, y V ∧ V es V. Coinciden. Es la única fila donde ambos lados son verdaderos, lo que refleja que una disyunción solo falla si fallan las dos partes.
En las otras tres filas al menos una variable es V, así que p ∨ q es V y su negación F; a la vez, alguna de ¬p o ¬q es F y la conjunción es F. Ambas columnas coinciden en las cuatro filas.
Cómo se usa en demostraciones
Para demostrar que «ni A ni B» basta negar la disyunción A ∨ B, y viceversa. Es habitual al probar que un elemento no pertenece a la unión de dos conjuntos.
Junto con la primera ley permite eliminar todas las negaciones de fórmulas compuestas, dejándolas solo sobre variables (forma normal negativa).
Ejemplos
Programación: `!(x < 0 || x > 100)` equivale a `x >= 0 && x <= 100`. La segunda forma expresa directamente «x está en el rango».
Cotidiano: «No voy a salir si llueve o hace frío» equivale a «solo salgo si no llueve y no hace frío».
Conjuntos: el complemento de A ∪ B es Aᶜ ∩ Bᶜ, la misma ley aplicada a pertenencia.
Relación con otras leyes
Es dual de la primera ley de De Morgan; una se obtiene de la otra sustituyendo cada variable por su negación y aplicando doble negación.
Describe al operador NOR: p ↓ q es ¬(p ∨ q), es decir, ¬p ∧ ¬q.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿Cómo recuerdo cuál ley es cuál? ▼
Al meter la negación en el paréntesis, el operador «se voltea»: ∧ pasa a ∨ y ∨ pasa a ∧. Las dos leyes siguen la misma receta.
¿Qué tiene que ver con NOR? ▼
NOR es exactamente la negación de la disyunción, así que p ↓ q ⇔ ¬p ∧ ¬q es esta misma ley con otra notación.
¿Es válida para «o» exclusivo? ▼
No directamente. ¬(p ⊕ q) equivale a p ⇔ q, no a ¬p ∧ ¬q. Las leyes de De Morgan son para ∨ y ∧.