Leyes de la lógica y reglas de inferencia_

(p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q

El modus ponens (del latín «modo que afirma») es la regla de inferencia más básica de la lógica proposicional. Dice que si tenemos una implicación p ⇒ q y sabemos que p es verdadera, podemos concluir q. Su tabla de verdad muestra que la expresión (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q es una tautología: nunca hay una fila en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p

El modus tollens («modo que niega») es la regla de inferencia que, a partir de una implicación p ⇒ q y de la negación de su consecuente ¬q, concluye la negación del antecedente ¬p. Es el razonamiento detrás de toda refutación: si una teoría predice algo que no ocurre, la teoría es falsa. La fórmula ((p ⇒ q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p es una tautología.

((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

El silogismo hipotético (o transitividad de la implicación) permite encadenar condicionales: si p ⇒ q y q ⇒ r, entonces p ⇒ r. Es la regla que hace posible razonar en cadena, y la fórmula ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) es una tautología con tres variables y ocho filas.

((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q

El silogismo disyuntivo (también llamado modus tollendo ponens) parte de una disyunción p ∨ q y de la negación de una de sus partes, ¬p, para concluir la otra, q. Es el razonamiento de «descartar opciones»: si solo hay dos posibilidades y una queda eliminada, la restante debe ser cierta. La fórmula ((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q es una tautología.

(((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ∧ (p ∨ r)) ⇒ (q ∨ s)

El dilema constructivo es una regla de inferencia con cuatro variables: de p ⇒ q, r ⇒ s y p ∨ r se concluye q ∨ s. Es un modus ponens «en paralelo»: sabemos que ocurre p o r, y cada una tiene su consecuencia, así que ocurre alguna de las consecuencias. La fórmula completa es una tautología de 16 filas.

¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)

La primera ley de De Morgan establece que negar «p y q» es lo mismo que afirmar «no p o no q». Formalmente, ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q) es una tautología: ambas columnas coinciden en las cuatro filas. Es una de las equivalencias más usadas para simplificar expresiones lógicas y condiciones en programación.

¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)

La segunda ley de De Morgan dice que negar «p o q» equivale a afirmar «no p y no q»: ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q). Es la única forma de que una disyunción sea falsa: que ambas partes lo sean. Como la primera ley, es una tautología y una herramienta esencial para simplificar condiciones negadas.

(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

La ley de la contrapositiva (o transposición) afirma que «si p entonces q» dice exactamente lo mismo que «si no q entonces no p». La fórmula (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) es una tautología. Es la base de las demostraciones por contrapositivo y la razón por la que el modus tollens es válido.

(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)

La ley de implicación material dice que el condicional p ⇒ q equivale a la disyunción ¬p ∨ q: «si p entonces q» es lo mismo que «no p, o q». Esta equivalencia, una tautología, permite eliminar el operador ⇒ de cualquier fórmula y explica por qué una implicación con antecedente falso es verdadera.

(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

El bicondicional p ⇔ q («p si y solo si q») se define como la conjunción de las dos implicaciones p ⇒ q y q ⇒ p. La fórmula (p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) es una tautología y explica por qué las demostraciones de «si y solo si» siempre tienen dos partes.

(p ⊕ q) ⇔ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q))

La disyunción exclusiva o XOR (p ⊕ q) es verdadera cuando exactamente una de las dos proposiciones lo es. Se define a partir de los operadores básicos como «p o q, y no (p y q)»: (p ⊕ q) ⇔ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)) es una tautología. Es el «o» del lenguaje cotidiano cuando decimos «una cosa o la otra».

((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r))

La ley de exportación establece que «si p y q, entonces r» equivale a «si p, entonces (si q, entonces r)». La fórmula ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)) es una tautología de tres variables. Permite convertir varias hipótesis en una cadena de condicionales, y es la versión lógica de la currificación en programación funcional.

(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))

La conjunción se distribuye sobre la disyunción igual que la multiplicación se distribuye sobre la suma en aritmética. Permite «sacar factor común» o expandir una fórmula sin cambiar su valor de verdad, y es una de las herramientas básicas para llevar expresiones a forma normal.

(p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

Esta ley es la gemela de la distributiva de ∧ sobre ∨, y resulta sorprendente porque no tiene análogo en la aritmética: a + (b · c) no es igual a (a + b) · (a + c). En lógica, en cambio, las dos direcciones son válidas y ambas se demuestran con una tabla de ocho filas.

(p ∨ (p ∧ q)) ⇔ p

La absorción es la ley de simplificación por excelencia: cuando una alternativa ya está contenida en otra, sobra. La fórmula p ∨ (p ∧ q) se reduce simplemente a p, sin importar qué diga q, y su tabla de verdad lo confirma en las cuatro filas.

(p ∧ p) ⇔ p

La idempotencia expresa algo que parece obvio pero conviene enunciar formalmente: afirmar dos veces lo mismo no añade información. Tanto p ∧ p como p ∨ p equivalen a p, y esta propiedad distingue a la lógica de la aritmética, donde a + a no es a.

(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

La conmutatividad dice que el orden de los operandos no altera el valor de verdad de una conjunción o una disyunción. Es una propiedad tan natural que se usa sin pensar, pero conviene saber exactamente qué operadores la cumplen: el condicional, por ejemplo, no conmuta.

¬¬p ⇔ p

La doble negación afirma que negar dos veces una proposición devuelve la proposición original. Es una de las leyes más simples de la lógica clásica y, a la vez, una de las más discutidas: la lógica intuicionista la rechaza precisamente por sus consecuencias filosóficas.

p ∨ ¬p

El principio del tercero excluido afirma que toda proposición es verdadera o es falsa, sin una tercera posibilidad. Formalmente, p ∨ ¬p es una tautología: el ejemplo más citado de fórmula verdadera en todas las filas de su tabla de verdad.

¬(p ∧ ¬p)

El principio de no contradicción afirma que ninguna proposición puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. Su formalización, ¬(p ∧ ¬p), es una tautología, y es el fundamento sobre el que descansa la consistencia de cualquier sistema formal.

((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p

La ley de Peirce es una curiosidad notable: es una tautología clásica escrita únicamente con condicionales, sin una sola negación. Su enunciado, ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p, resulta desconcertante a primera vista, pero la tabla de verdad lo confirma en las cuatro filas.

((p ⇒ q) ∧ q) ⇒ p

La afirmación del consecuente es la falacia formal más común, porque se parece muchísimo al modus ponens. La diferencia es crucial: aquí se afirma la conclusión de la implicación para deducir su condición, y eso no es válido. La tabla de verdad lo demuestra: la fórmula es una contingencia, no una tautología.

((p ⇒ q) ∧ ¬p) ⇒ ¬q

La negación del antecedente es la otra gran falacia formal asociada al condicional. Consiste en creer que si la condición no se cumple, tampoco se cumplirá la consecuencia. La tabla de verdad demuestra que el razonamiento es inválido: la fórmula es una contingencia.