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Silogismo disyuntivo_
El silogismo disyuntivo (también llamado modus tollendo ponens) parte de una disyunción p ∨ q y de la negación de una de sus partes, ¬p, para concluir la otra, q. Es el razonamiento de «descartar opciones»: si solo hay dos posibilidades y una queda eliminada, la restante debe ser cierta. La fórmula ((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q es una tautología.
Ejemplo
((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q
Significado de las variables
- ▸ p: «El paquete llegó por correo»
- ▸ q: «El paquete llegó por mensajería»
En palabras
El paquete llegó por correo o por mensajería. No llegó por correo. Por lo tanto, llegó por mensajería.
Tabla de verdad
| p | q | p ∨ q | ¬p | (p ∨ q) ∧ ¬p | ((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q★ |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | V |
| V | F | V | F | F | V |
| F | V | V | V | V | V |
| F | F | F | V | F | V |
Clasificación: Tautología · 4 filas
Enunciado de la regla
Premisa 1: p ∨ q. Premisa 2: ¬p. Conclusión: q. Por simetría de la disyunción también vale con ¬q para concluir p.
En deducción natural se conoce como eliminación de la disyunción en su forma simple: una disyunción más la negación de un disyunto produce el otro disyunto.
Por qué es válida: lectura de la tabla
La conclusión q es F solo en las filas con q = F. Si además p = V (fila p = V, q = F), la premisa ¬p es F. Si p = F (fila p = F, q = F), la disyunción p ∨ q es F. En ambos casos la conjunción de premisas es F y la implicación completa es V.
La única fila donde ambas premisas son V es p = F, q = V: la disyunción es V gracias a q y ¬p es V. Allí la conclusión q es V. El argumento nunca lleva de premisas verdaderas a conclusión falsa.
Cómo se usa en demostraciones
Aparece siempre que una demostración por casos reduce las opciones: «x es positivo o x es cero; x no es cero; por lo tanto x es positivo».
Combinado con la ley de implicación material, (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q), permite reescribir el modus ponens como un silogismo disyuntivo: de ¬p ∨ q y p (es decir, ¬¬p) se obtiene q.
Ejemplos
Cotidiano: «Las llaves están en la mochila o en el abrigo. No están en la mochila. Entonces están en el abrigo».
Programación: un `switch` con dos casos y sin `default` usa este razonamiento: si el valor es A o B y comprobamos que no es A, la rama que se ejecuta es la de B.
Matemáticas: «Un número entero es par o impar. 7 no es par. Por lo tanto, 7 es impar».
Relación con otras leyes
Es primo hermano del modus tollens: ambos «tollendo ponens/tollens» eliminan una opción para obtener una conclusión. La diferencia es que aquí la premisa mayor es una disyunción y no una implicación.
Requiere que la disyunción sea inclusiva u exclusiva indistintamente; el argumento funciona en ambos casos porque solo usa que al menos una parte es verdadera.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿Qué significa «tollendo ponens»? ▼
«Negando, afirma»: se niega un disyunto para afirmar el otro. Es la contraparte del modus ponendo ponens.
¿Funciona con «o» exclusivo? ▼
Sí. La regla solo necesita que al menos una de las dos partes sea verdadera, condición que cumplen tanto ∨ como ⊕.
¿Y si niego q en lugar de p? ▼
Concluyes p. La disyunción es conmutativa, así que ((p ∨ q) ∧ ¬q) ⇒ p también es una tautología.