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∧ Conjunción_
La conjunción une dos proposiciones con la palabra «y». La expresión p ∧ q es verdadera solo cuando p y q son verdaderas al mismo tiempo; en cualquier otro caso es falsa. Es el operador más estricto de la lógica proposicional.
Tabla de verdad: p ∧ q
| p | q | p ∧ q★ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Clasificación: Contingencia · 4 filas
Definición
La conjunción de p y q, escrita p ∧ q, es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas. Basta con que una sea falsa para que toda la conjunción sea falsa.
Símbolos equivalentes que verás en distintos contextos: p ∧ q (lógica), p & q (informática), p · q o simplemente pq (álgebra booleana) y p AND q (electrónica). La calculadora acepta ∧, &, · y *.
Cómo se lee
p ∧ q se lee «p y q». En lenguaje natural también aparece como «p pero q», «p aunque q», «tanto p como q» o «p, además q»: todas ellas afirman las dos cosas a la vez, así que se traducen con una conjunción.
Por ejemplo, «Ana estudia y trabaja» se formaliza como p ∧ q con p = «Ana estudia» y q = «Ana trabaja».
Cuándo es verdadera
La tabla tiene cuatro filas. Con p = V y q = V, p ∧ q = V. Con p = V y q = F, p ∧ q = F. Con p = F y q = V, p ∧ q = F. Con p = F y q = F, p ∧ q = F.
Solo una de las cuatro combinaciones da verdadero, por lo que p ∧ q es una contingencia. Una forma de recordarlo: la conjunción funciona como una multiplicación de ceros y unos (1·1 = 1, todo lo demás da 0).
Ejemplo cotidiano
Para aprobar un curso necesitas «entregar el proyecto y aprobar el examen». Si entregas el proyecto pero no apruebas el examen, la condición completa no se cumple. Solo cumpliendo ambas partes se satisface la conjunción.
En programación ocurre lo mismo: la condición if (edad >= 18 && tieneLicencia) solo se ejecuta cuando las dos comparaciones son verdaderas.
Propiedades y equivalencias
Conmutativa: p ∧ q ≡ q ∧ p. Asociativa: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r). Idempotente: p ∧ p ≡ p. Elemento neutro: p ∧ 1 ≡ p. Elemento absorbente: p ∧ 0 ≡ 0.
Distributiva sobre la disyunción: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). Absorción: p ∧ (p ∨ q) ≡ p.
Equivalencias con otros operadores: p ∧ q ≡ ¬(¬p ∨ ¬q) (De Morgan), p ∧ q ≡ ¬(p ⇒ ¬q) y p ∧ q ≡ ¬(p ⊼ q), es decir, la conjunción es la negación del NAND.
Errores comunes
Pensar que «p pero q» o «p aunque q» no son conjunciones. Lógicamente lo son: el matiz de contraste no cambia el valor de verdad.
Aplicar mal De Morgan: ¬(p ∧ q) equivale a ¬p ∨ ¬q, no a ¬p ∧ ¬q. Y confundir la precedencia: en p ∧ q ∨ r la conjunción se evalúa primero, así que equivale a (p ∧ q) ∨ r.
Expresiones equivalentes
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Leyes y reglas relacionadas
Equivalencia lógica
Ley de De Morgan (conjunción)
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
Equivalencia lógica
Ley distributiva de ∧ sobre ∨
(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
Equivalencia lógica
Ley de absorción
(p ∨ (p ∧ q)) ⇔ p
Equivalencia lógica
Ley de idempotencia
(p ∧ p) ⇔ p
Equivalencia lógica
Ley conmutativa
(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
Ley fundamental
Principio de no contradicción
¬(p ∧ ¬p)
Preguntas frecuentes
¿Cuántas filas verdaderas tiene p ∧ q? ▼
Solo una: cuando p y q son ambas verdaderas. Las otras tres combinaciones dan falso.
¿«Pero» y «aunque» también son conjunciones? ▼
Sí. Frases como «llueve pero hace calor» afirman las dos cosas, así que se formalizan como p ∧ q. El contraste es un matiz del lenguaje, no de la lógica.
¿Qué relación tiene la conjunción con NAND? ▼
Son opuestas: p ⊼ q ≡ ¬(p ∧ q). Por eso la conjunción se puede escribir solo con NAND: p ∧ q ≡ (p ⊼ q) ⊼ (p ⊼ q).