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¬ Negación_
La negación es el único operador lógico que actúa sobre una sola proposición: toma un valor de verdad y lo invierte. Si p es verdadera, ¬p es falsa; si p es falsa, ¬p es verdadera. Es la pieza básica con la que se construyen todos los demás conectores.
Tabla de verdad: ¬p
| p | ¬p★ |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Clasificación: Contingencia · 2 filas
Definición
La negación de una proposición p, escrita ¬p, es la proposición que es verdadera exactamente cuando p es falsa. Formalmente es una función de verdad unaria: recibe un valor (V o F) y devuelve el contrario.
En los libros y en la calculadora encontrarás varios símbolos para lo mismo: ¬p (notación estándar), ~p (muy común en textos en español), !p (heredado de los lenguajes de programación) y p' (álgebra booleana, donde el apóstrofo se escribe después de la variable). Nuestra calculadora acepta los cuatro y los trata de forma idéntica.
Cómo se lee
¬p se lee «no p», «no es cierto que p» o «es falso que p». Por ejemplo, si p representa «está lloviendo», entonces ¬p es «no está lloviendo».
Cuando la negación afecta a una expresión compuesta hay que usar paréntesis: ¬(p ∧ q) niega toda la conjunción, mientras que ¬p ∧ q niega únicamente a p. Esta diferencia cambia por completo la tabla de verdad, así que conviene revisar siempre el alcance de la negación.
Cuándo es verdadera
La tabla de verdad de ¬p solo tiene dos filas, porque hay una sola variable. Si p = V, entonces ¬p = F. Si p = F, entonces ¬p = V. No hay más casos: la negación siempre produce el valor opuesto al de entrada.
Como tiene una fila verdadera y una falsa, ¬p es una contingencia: no es tautología ni contradicción. Su valor depende por completo del valor de p.
Ejemplo cotidiano
Supón que p es «el examen es el lunes». Su negación ¬p es «el examen no es el lunes». Nota que ¬p no dice cuándo es el examen; solo descarta el lunes. Ese es un error frecuente: negar no significa afirmar lo contrario específico, sino descartar la afirmación original.
Otro ejemplo: si p es «todos aprobaron», ¬p es «no todos aprobaron», es decir, «al menos uno no aprobó». No equivale a «nadie aprobó».
Propiedades y equivalencias
Doble negación: ¬¬p ≡ p. Negar dos veces devuelve el valor original, lo que permite simplificar expresiones eliminando pares de negaciones.
Tercero excluido: p ∨ ¬p es siempre verdadera (tautología). No contradicción: p ∧ ¬p es siempre falsa (contradicción). Estas dos leyes son la base de las demostraciones por reducción al absurdo.
La negación también se puede expresar con otros operadores: ¬p ≡ p ⊼ p (NAND de p consigo misma) y ¬p ≡ p ↓ p (NOR de p consigo misma). Por eso NAND y NOR se consideran operadores universales en electrónica digital.
Errores comunes
Confundir el alcance: ¬p ∨ q no es lo mismo que ¬(p ∨ q). En la primera solo se niega p; en la segunda se niega toda la disyunción. Al escribir en la calculadora, usa paréntesis siempre que la negación deba cubrir más de una variable.
Olvidar las leyes de De Morgan: ¬(p ∧ q) no es ¬p ∧ ¬q, sino ¬p ∨ ¬q. Al distribuir una negación, la conjunción se convierte en disyunción y viceversa.
Expresiones equivalentes
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Leyes y reglas relacionadas
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre ¬p, ~p y !p? ▼
Ninguna en cuanto al significado: los tres representan la negación de p. ¬ es el símbolo estándar en lógica matemática, ~ es habitual en libros de texto y ! viene de la programación. La calculadora los acepta todos.
¿Qué pasa si niego dos veces? ▼
Obtienes la proposición original: ¬¬p ≡ p. Esta ley de doble negación es válida en lógica clásica y permite simplificar expresiones eliminando pares de negaciones.
¿Cómo niego una expresión compuesta como p ∧ q? ▼
Escribe la negación delante y encierra la expresión en paréntesis: ¬(p ∧ q). Por las leyes de De Morgan, eso equivale a ¬p ∨ ¬q.
¿La negación es una tautología o una contradicción? ▼
Ninguna de las dos. ¬p es una contingencia porque es verdadera en una fila (cuando p es falsa) y falsa en la otra.