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⊕ Disyunción exclusiva_
La disyunción exclusiva, conocida como XOR, expresa «o p o q, pero no ambas». La expresión p ⊕ q es verdadera cuando exactamente una de las dos proposiciones es verdadera y falsa cuando coinciden. Es el «o» excluyente del lenguaje cotidiano llevado a la lógica formal.
Tabla de verdad: p ⊕ q
| p | q | p ⊕ q★ |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Clasificación: Contingencia · 4 filas
Definición
p ⊕ q es verdadera cuando p y q tienen valores de verdad distintos y falsa cuando tienen el mismo. A diferencia de la disyunción inclusiva ∨, la exclusiva rechaza el caso en que ambas son verdaderas.
Símbolos alternativos: p ⊻ q, p XOR q, p ≢ q (no equivalente) y, en algunos textos, p ⊕ q se llama «suma módulo 2» porque coincide con sumar bits y quedarse con el residuo de dividir entre 2. La calculadora acepta ⊕ y ⊻.
Cómo se lee
p ⊕ q se lee «o p o q», «p o bien q», «p o q pero no ambas» o «exactamente una de p y q». En español, la construcción «o... o...» con la primera «o» reforzada suele indicar exclusividad.
Ejemplo: «El menú incluye o sopa o ensalada» se formaliza como p ⊕ q, porque no puedes elegir las dos.
Cuándo es verdadera
La tabla tiene cuatro filas. Con p = V y q = V, p ⊕ q = F. Con p = V y q = F, p ⊕ q = V. Con p = F y q = V, p ⊕ q = V. Con p = F y q = F, p ⊕ q = F.
Dos filas verdaderas y dos falsas: es una contingencia. Compara con ∨: la única diferencia está en la primera fila, donde ambas son verdaderas (∨ da V, ⊕ da F).
Ejemplo cotidiano
Un interruptor de luz con dos llaves en los extremos de un pasillo funciona con XOR: la luz se encuende cuando exactamente una llave está arriba. Si ambas están arriba o ambas abajo, la luz está apagada. Cambiar cualquiera de las dos invierte el estado.
En criptografía, el cifrado de un bit con una clave se hace con XOR: mensaje ⊕ clave = cifrado, y cifrado ⊕ clave = mensaje. Esto funciona porque p ⊕ q ⊕ q ≡ p.
Propiedades y equivalencias
Definiciones equivalentes: p ⊕ q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), p ⊕ q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) y p ⊕ q ≡ ¬(p ⇔ q). También coincide con la negación del bicondicional: p ⊕ q ≡ p ⇎ q.
Es conmutativa y asociativa. Elemento neutro: p ⊕ 0 ≡ p. Negación: p ⊕ 1 ≡ ¬p. Autoinversa: p ⊕ p ≡ 0 (siempre falso). Estas propiedades la hacen central en circuitos sumadores y detectores de paridad.
Errores comunes
Usar ∨ cuando el enunciado es exclusivo. Si el problema dice «pero no ambas», la disyunción inclusiva da un resultado incorrecto en la fila (V, V).
Suponer que XOR con tres variables significa «exactamente una verdadera». En realidad p ⊕ q ⊕ r es verdadero cuando un número impar de variables es verdadero (una o las tres), porque es una suma módulo 2.
Expresiones equivalentes
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Leyes y reglas relacionadas
Equivalencia lógica
Definición de XOR
(p ⊕ q) ⇔ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q))
Equivalencia lógica
Definición del bicondicional
(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Equivalencia lógica
Ley de De Morgan (conjunción)
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
Equivalencia lógica
Ley distributiva de ∧ sobre ∨
(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre ⊕ y ∨? ▼
Solo difieren cuando p y q son ambas verdaderas: ∨ da verdadero y ⊕ da falso. La disyunción inclusiva acepta «una o ambas»; la exclusiva exige «exactamente una».
¿Por qué XOR se llama suma módulo 2? ▼
Porque si representas V como 1 y F como 0, p ⊕ q coincide con el residuo de (p + q) al dividir entre 2: 1 + 1 = 2 ≡ 0, 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 0.
¿Qué relación tiene XOR con el bicondicional? ▼
Son negaciones mutuas: p ⊕ q ≡ ¬(p ⇔ q). Una es verdadera exactamente cuando la otra es falsa.