// leyes y reglas · Equivalencia lógica
Ley distributiva de ∨ sobre ∧_
Esta ley es la gemela de la distributiva de ∧ sobre ∨, y resulta sorprendente porque no tiene análogo en la aritmética: a + (b · c) no es igual a (a + b) · (a + c). En lógica, en cambio, las dos direcciones son válidas y ambas se demuestran con una tabla de ocho filas.
Ejemplo
(p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
Significado de las variables
- ▸ p: «Tengo beca»
- ▸ q: «Apruebo el examen»
- ▸ r: «Entrego el proyecto»
En palabras
«Tengo beca, o bien (apruebo el examen y entrego el proyecto)» equivale a «(tengo beca o apruebo el examen) y (tengo beca o entrego el proyecto)».
Tabla de verdad
| p | q | r | q ∧ r | p ∨ (q ∧ r) | p ∨ q | p ∨ r | (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) | (p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))★ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | F | V | V | V | V | V |
| V | F | V | F | V | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V | V | V | V | V |
| F | V | V | V | V | V | V | V | V |
| F | V | F | F | F | V | F | F | V |
| F | F | V | F | F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | F | F | F | F | V |
Clasificación: Tautología · 8 filas
Enunciado
La ley afirma que p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Como toda equivalencia, se demuestra comprobando que el bicondicional entre ambos lados es una tautología.
Si se traduce a notación de álgebra de Boole quedaría p + (q · r) = (p + q) · (p + r), una igualdad falsa en los números pero verdadera en la lógica. La razón es que aquí «sumar» es idempotente: p ∨ p es p, mientras que p + p no es p.
Por qué es válida: lectura de la tabla
Si p es V, el lado izquierdo es V porque una disyunción con un miembro verdadero es verdadera; y el derecho también, porque cada paréntesis contiene a p. Las cuatro filas con p = V dan V en ambos lados.
Si p es F, el lado izquierdo se reduce a q ∧ r, y el derecho a q ∧ r porque cada paréntesis se queda con su segundo miembro. De nuevo coinciden, y el bicondicional final es V en las ocho filas.
Cómo se usa
De izquierda a derecha lleva una fórmula hacia la forma normal conjuntiva (una conjunción de disyunciones), que es el formato que consumen los resolutores SAT y el método de resolución.
De derecha a izquierda factoriza: si en una condición se repite el mismo término en varias alternativas, se puede extraer y escribirlo una sola vez.
Ejemplos
Cotidiano: «Es festivo o (es sábado y no trabajo)» equivale a «(es festivo o es sábado) y (es festivo o no trabajo)».
Programación: `esAdmin || (activo && verificado)` equivale a `(esAdmin || activo) && (esAdmin || verificado)`. Aquí la forma corta suele ser mejor, pero la larga es la que necesitan las herramientas que exigen forma normal conjuntiva.
Relación con otras leyes
Junto con la distributiva de ∧ sobre ∨ forma un par simétrico. Esta simetría entre ∧ y ∨ es un caso del principio de dualidad: toda ley sigue siendo válida si se intercambian ∧ con ∨ y V con F.
Aplicando De Morgan a esta ley se obtiene la otra distributiva, así que basta demostrar una de las dos para tener ambas.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Operadores relacionados
Preguntas frecuentes
¿Por qué en aritmética no funciona? ▼
Porque la suma numérica no es idempotente ni absorbente: 2 + (3 · 4) = 14, pero (2 + 3) · (2 + 4) = 30. En lógica, p ∨ p = p, y eso es lo que hace válida la ley.
¿Cuál de las dos distributivas debo usar? ▼
Depende del objetivo: la de ∨ sobre ∧ lleva a forma normal conjuntiva; la de ∧ sobre ∨, a forma normal disyuntiva.
¿Qué es el principio de dualidad? ▼
Dice que si intercambias ∧ por ∨ y verdadero por falso en una ley válida, obtienes otra ley válida. Estas dos distributivas son duales entre sí.