// leyes y reglas · Equivalencia lógica
Ley de De Morgan (conjunción)_
La primera ley de De Morgan establece que negar «p y q» es lo mismo que afirmar «no p o no q». Formalmente, ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q) es una tautología: ambas columnas coinciden en las cuatro filas. Es una de las equivalencias más usadas para simplificar expresiones lógicas y condiciones en programación.
Ejemplo
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
Significado de las variables
- ▸ p: «El usuario está registrado»
- ▸ q: «El usuario tiene saldo»
En palabras
«No es cierto que el usuario esté registrado y tenga saldo» significa exactamente «el usuario no está registrado o no tiene saldo».
Tabla de verdad
| p | q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∨ ¬q | ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)★ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F | V |
| V | F | F | V | F | V | V | V |
| F | V | F | V | V | F | V | V |
| F | F | F | V | V | V | V | V |
Clasificación: Tautología · 4 filas
Enunciado
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q). Al «meter» la negación dentro del paréntesis, la conjunción se convierte en disyunción y cada parte se niega.
Junto con la segunda ley, ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q), forma el par de leyes de De Morgan, llamadas así por el matemático Augustus De Morgan (siglo XIX), aunque ya eran conocidas por los lógicos medievales.
Por qué es una tautología: lectura de la tabla
Fila p = V, q = V: p ∧ q es V, su negación es F; ¬p y ¬q son F, y F ∨ F es F. Coinciden. Fila p = V, q = F: p ∧ q es F, su negación V; ¬q es V, así que ¬p ∨ ¬q es V. Coinciden.
Las filas p = F, q = V y p = F, q = F funcionan igual: la conjunción es F, su negación V, y como ¬p es V la disyunción también es V. Como las dos columnas son idénticas, el bicondicional es V en todas las filas.
Cómo se usa en demostraciones
Permite empujar negaciones hacia las variables, lo que es el primer paso para convertir cualquier fórmula a forma normal (conjuntiva o disyuntiva).
En demostraciones por contradicción, negar una hipótesis compuesta con ∧ produce inmediatamente una disyunción de casos a analizar.
Ejemplos
Programación: `!(a && b)` es equivalente a `!a || !b`. Reescribir `if (!(edad >= 18 && tieneLicencia))` como `if (edad < 18 || !tieneLicencia)` suele hacer el código más legible.
Consultas SQL: `NOT (activo = 1 AND pais = 'MX')` se puede escribir como `activo <> 1 OR pais <> 'MX'`.
Cotidiano: «No es verdad que llovió y hizo frío» quiere decir «no llovió o no hizo frío».
Relación con otras leyes
Su ley hermana intercambia los papeles: ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q). Ambas se generalizan a cualquier número de variables y a los cuantificadores (¬∀ equivale a ∃¬).
Define la relación entre NAND y las operaciones básicas: p ⊼ q es ¬(p ∧ q), que por De Morgan es ¬p ∨ ¬q.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Operadores relacionados
Preguntas frecuentes
¿Cuántas leyes de De Morgan hay? ▼
Dos en lógica proposicional: una para la negación de la conjunción y otra para la negación de la disyunción. Se extienden también a conjuntos y cuantificadores.
¿Por qué el resultado es una tautología si hay operadores distintos? ▼
Porque las dos expresiones que compara el bicondicional tienen exactamente los mismos valores en todas las filas; el ⇔ es V cuando ambos lados coinciden.
¿Sirve para más de dos variables? ▼
Sí: ¬(p ∧ q ∧ r) equivale a ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r, y en general la negación de una conjunción de n términos es la disyunción de sus n negaciones.