// leyes y reglas · Equivalencia lógica
Ley de exportación_
La ley de exportación establece que «si p y q, entonces r» equivale a «si p, entonces (si q, entonces r)». La fórmula ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)) es una tautología de tres variables. Permite convertir varias hipótesis en una cadena de condicionales, y es la versión lógica de la currificación en programación funcional.
Ejemplo
((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r))
Significado de las variables
- ▸ p: «Tienes boleto»
- ▸ q: «Llegas antes de las 8»
- ▸ r: «Puedes entrar»
En palabras
«Si tienes boleto y llegas antes de las 8, puedes entrar» equivale a «si tienes boleto, entonces, si llegas antes de las 8, puedes entrar».
Tabla de verdad
| p | q | r | p ∧ q | (p ∧ q) ⇒ r | q ⇒ r | p ⇒ (q ⇒ r) | ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r))★ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | F | F | V |
| V | F | V | F | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V | V | V | V |
| F | V | V | F | V | V | V | V |
| F | V | F | F | V | F | V | V |
| F | F | V | F | V | V | V | V |
| F | F | F | F | V | V | V | V |
Clasificación: Tautología · 8 filas
Enunciado
((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)). Exportar significa sacar una de las hipótesis del antecedente y convertirla en un condicional anidado; importar es el proceso inverso.
Con tres variables la tabla tiene 8 filas.
Por qué es una tautología: lectura de la tabla
El lado izquierdo (p ∧ q) ⇒ r es F solo cuando p = V, q = V y r = F. El lado derecho p ⇒ (q ⇒ r) es F solo cuando p = V y q ⇒ r es F, es decir, q = V y r = F. Es exactamente la misma fila.
En las otras siete filas ambos lados son V: si p o q es F, el antecedente izquierdo es F y en el lado derecho o bien p es F o bien q ⇒ r es V. Y si r = V ambas implicaciones son V. Las columnas coinciden.
Cómo se usa en demostraciones
Justifica que un teorema con varias hipótesis pueda demostrarse suponiéndolas una por una: para probar p ⇒ (q ⇒ r) suponemos p, luego suponemos q y deducimos r, lo mismo que suponer p ∧ q de golpe.
En el cálculo lambda y en lenguajes funcionales, una función de dos argumentos f(p, q) = r se currifica en p ↦ (q ↦ r); la ley de exportación es su correlato lógico vía la correspondencia de Curry-Howard.
Ejemplos
Programación: `if (a && b) { hacer(); }` equivale a `if (a) { if (b) { hacer(); } }`. Los compiladores usan esta equivalencia para el cortocircuito de `&&`.
Matemáticas: «si n es par y n > 2, entonces n no es primo» se puede enunciar como «si n es par, entonces si n > 2, n no es primo».
Relación con otras leyes
Se demuestra con implicación material y De Morgan: (p ∧ q) ⇒ r ⇔ ¬(p ∧ q) ∨ r ⇔ ¬p ∨ ¬q ∨ r ⇔ ¬p ∨ (q ⇒ r) ⇔ p ⇒ (q ⇒ r).
Está detrás del silogismo hipotético: al encadenar implicaciones estamos exportando hipótesis intermedias.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿Qué tiene que ver con la currificación? ▼
Una función que recibe (p, q) y devuelve r equivale a una función que recibe p y devuelve otra función que recibe q y devuelve r. La ley de exportación es la misma idea para proposiciones.
¿Funciona con más de dos hipótesis? ▼
Sí: (p ∧ q ∧ s) ⇒ r equivale a p ⇒ (q ⇒ (s ⇒ r)), aplicando la ley repetidamente.
¿Por qué la tabla tiene 8 filas? ▼
Porque hay tres variables (p, q, r) y 2³ = 8 combinaciones.