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Silogismo hipotético_
El silogismo hipotético (o transitividad de la implicación) permite encadenar condicionales: si p ⇒ q y q ⇒ r, entonces p ⇒ r. Es la regla que hace posible razonar en cadena, y la fórmula ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) es una tautología con tres variables y ocho filas.
Ejemplo
((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)
Significado de las variables
- ▸ p: «Estudio»
- ▸ q: «Apruebo el examen»
- ▸ r: «Paso la materia»
En palabras
Si estudio, apruebo el examen. Si apruebo el examen, paso la materia. Por lo tanto, si estudio, paso la materia.
Tabla de verdad
| p | q | r | p ⇒ q | q ⇒ r | (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) | p ⇒ r | ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)★ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | F | F | V |
| V | F | V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | V | F | F | V |
| F | V | V | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V | V | V |
Clasificación: Tautología · 8 filas
Enunciado de la regla
Premisa 1: p ⇒ q. Premisa 2: q ⇒ r. Conclusión: p ⇒ r. La variable intermedia q «desaparece» en la conclusión, igual que el término medio en un silogismo clásico.
Con tres variables la tabla tiene 2³ = 8 filas, y en todas ellas la columna final es V.
Por qué es válida: lectura de la tabla
La conclusión p ⇒ r solo es F cuando p = V y r = F. Analicemos esas dos filas. Si además q = V (fila p = V, q = V, r = F), la premisa q ⇒ r es F. Si q = F (fila p = V, q = F, r = F), la premisa p ⇒ q es F. En ambos casos la conjunción de premisas es F, así que la implicación completa es V.
En las otras seis filas la conclusión p ⇒ r ya es V por sí misma, y una implicación con consecuente verdadero siempre es V. Por eso no hay contraejemplo.
Cómo se usa en demostraciones
Es la regla que justifica las demostraciones «en cadena»: A ⇒ B, B ⇒ C, C ⇒ D, y por lo tanto A ⇒ D. Cada eslabón se apoya en el anterior.
También explica por qué la relación «implica» es transitiva y permite organizar teoremas en jerarquías: si un lema implica otro y ese implica el teorema, el lema implica el teorema.
Ejemplos
Cotidiano: «Si se acaba la batería, el teléfono se apaga. Si el teléfono se apaga, no recibo llamadas. Por lo tanto, si se acaba la batería, no recibo llamadas».
Programación: en una cadena de dependencias, «si falla la base de datos, falla la API; si falla la API, falla la app». De ahí se concluye que una caída de la base de datos tumba la app, aunque no estén conectadas directamente.
Matemáticas: «Si n es múltiplo de 8, es múltiplo de 4; si es múltiplo de 4, es par. Luego todo múltiplo de 8 es par».
Relación con otras leyes
Se puede demostrar usando dos veces el modus ponens dentro de una prueba condicional: suponemos p, obtenemos q por MP con la primera premisa y r por MP con la segunda.
No debe confundirse con el silogismo disyuntivo, que trabaja con una disyunción y una negación, ni con la ley de exportación, que reorganiza implicaciones anidadas en lugar de encadenarlas.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿Por qué se llama «hipotético»? ▼
Porque sus premisas son hipótesis, es decir, enunciados condicionales de la forma «si…, entonces…», a diferencia del silogismo categórico de Aristóteles.
¿Cuántas filas tiene su tabla de verdad? ▼
Ocho, porque intervienen tres variables (p, q, r) y 2³ = 8.
¿Se puede encadenar más de dos implicaciones? ▼
Sí. Aplicando la regla repetidamente se obtiene p ⇒ s a partir de p ⇒ q, q ⇒ r y r ⇒ s, y así sucesivamente.