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Dilema constructivo_
El dilema constructivo es una regla de inferencia con cuatro variables: de p ⇒ q, r ⇒ s y p ∨ r se concluye q ∨ s. Es un modus ponens «en paralelo»: sabemos que ocurre p o r, y cada una tiene su consecuencia, así que ocurre alguna de las consecuencias. La fórmula completa es una tautología de 16 filas.
Ejemplo
(((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ∧ (p ∨ r)) ⇒ (q ∨ s)
Significado de las variables
- ▸ p: «Tomo el tren»
- ▸ q: «Llego a las 8»
- ▸ r: «Tomo el autobús»
- ▸ s: «Llego a las 9»
En palabras
Si tomo el tren llego a las 8; si tomo el autobús llego a las 9. Tomaré el tren o el autobús. Por lo tanto, llegaré a las 8 o a las 9.
Tabla de verdad
| p | q | r | s | p ⇒ q | r ⇒ s | (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) | p ∨ r | ((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ∧ (p ∨ r) | q ∨ s | (((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ∧ (p ∨ r)) ⇒ (q ∨ s)★ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | V | F | V | F | F | V | F | V | V |
| V | V | F | V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | F | V | V | V | V | V | V | V |
| V | F | V | V | F | V | F | V | F | V | V |
| V | F | V | F | F | F | F | V | F | F | V |
| V | F | F | V | F | V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | F | V | F | V | F | F | V |
| F | V | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| F | V | V | F | V | F | F | V | F | V | V |
| F | V | F | V | V | V | V | F | F | V | V |
| F | V | F | F | V | V | V | F | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| F | F | V | F | V | F | F | V | F | F | V |
| F | F | F | V | V | V | V | F | F | V | V |
| F | F | F | F | V | V | V | F | F | F | V |
Clasificación: Tautología · 16 filas
Enunciado de la regla
Premisas: p ⇒ q, r ⇒ s y p ∨ r. Conclusión: q ∨ s. Con cuatro variables la tabla tiene 2⁴ = 16 filas.
Se llama «dilema» porque la disyunción p ∨ r plantea dos caminos, y «constructivo» porque construye una conclusión afirmativa a partir de ellos (a diferencia del dilema destructivo, que concluye ¬p ∨ ¬r a partir de ¬q ∨ ¬s).
Por qué es válida: lectura de la tabla
La conclusión q ∨ s es F solo cuando q = F y s = F. En esas cuatro filas, para que p ∨ r sea V necesitamos p = V o r = V. Si p = V, entonces p ⇒ q es F (porque q = F); si r = V, entonces r ⇒ s es F (porque s = F). En cualquier caso alguna premisa falla, la conjunción es F y la implicación final es V.
En las doce filas restantes la conclusión q ∨ s ya es V, así que la implicación es V automáticamente. No existe contraejemplo.
Cómo se usa en demostraciones
Es la versión formal de la demostración por casos: si sabemos que se cumple A o B, y en cada caso llegamos a una conclusión, podemos afirmar la disyunción de las conclusiones sin saber cuál de los casos ocurre realmente.
Se deriva de dos aplicaciones de modus ponens dentro de una eliminación de la disyunción.
Ejemplos
Cotidiano: «Si estudio medicina seré médico; si estudio derecho seré abogado. Estudiaré medicina o derecho. Por lo tanto, seré médico o abogado».
Programación: «Si la caché acierta, la respuesta tarda 5 ms; si falla, tarda 50 ms. Toda petición acierta o falla en la caché. Luego toda petición tarda 5 ms o 50 ms». Es el razonamiento típico al acotar tiempos de ejecución por casos.
Relación con otras leyes
Cuando p y r son la misma proposición y q y s también, el dilema constructivo se reduce al modus ponens. Cuando q y s coinciden, obtenemos la regla de «prueba por casos»: de p ⇒ q, r ⇒ q y p ∨ r se sigue q.
El dilema destructivo es su contrapositivo: de p ⇒ q, r ⇒ s y ¬q ∨ ¬s se concluye ¬p ∨ ¬r, y se justifica igual usando modus tollens.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿Por qué tiene 16 filas? ▼
Porque intervienen cuatro variables (p, q, r, s) y 2⁴ = 16.
¿Qué es el dilema destructivo? ▼
La regla espejo: de p ⇒ q, r ⇒ s y ¬q ∨ ¬s se concluye ¬p ∨ ¬r. Usa modus tollens en lugar de modus ponens.
¿Puedo concluir q ∧ s en vez de q ∨ s? ▼
No. Solo sabemos que ocurre p o r, no ambas, así que solo podemos garantizar una de las consecuencias.