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Definición de XOR_
La disyunción exclusiva o XOR (p ⊕ q) es verdadera cuando exactamente una de las dos proposiciones lo es. Se define a partir de los operadores básicos como «p o q, y no (p y q)»: (p ⊕ q) ⇔ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)) es una tautología. Es el «o» del lenguaje cotidiano cuando decimos «una cosa o la otra».
Ejemplo
(p ⊕ q) ⇔ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q))
Significado de las variables
- ▸ p: «Pago con tarjeta»
- ▸ q: «Pago en efectivo»
En palabras
«Pago con tarjeta o en efectivo, pero no con ambas» es exactamente p ⊕ q.
Tabla de verdad
| p | q | p ⊕ q | p ∨ q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) | (p ⊕ q) ⇔ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q))★ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V | F | F | V |
| V | F | V | V | F | V | V | V |
| F | V | V | V | F | V | V | V |
| F | F | F | F | F | V | F | V |
Clasificación: Tautología · 4 filas
Enunciado
(p ⊕ q) ⇔ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)). El lado derecho descompone el XOR: la disyunción garantiza que al menos una es verdadera y la negación de la conjunción impide que lo sean las dos.
Otras formas equivalentes: (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q), y también ¬(p ⇔ q).
Por qué es una tautología: lectura de la tabla
Fila p = V, q = V: p ⊕ q es F. p ∨ q es V pero p ∧ q es V, su negación F y la conjunción final F. Coinciden. Fila p = F, q = F: p ⊕ q es F; p ∨ q es F y la conjunción es F. Coinciden.
Filas p = V, q = F y p = F, q = V: p ⊕ q es V. La disyunción es V, la conjunción p ∧ q es F, su negación V, y V ∧ V es V. Las dos columnas son idénticas.
Cómo se usa en demostraciones
Cuando un sistema formal solo tiene ¬, ∧ y ∨, esta equivalencia es la definición de ⊕ y permite eliminarlo de cualquier fórmula.
En álgebra booleana, XOR es la suma módulo 2: p ⊕ q = (p + q) mod 2. De ahí que sea asociativa y que p ⊕ p = 0.
Ejemplos
Circuitos: la puerta XOR es el núcleo del sumador binario; la suma de dos bits sin acarreo es exactamente su XOR.
Programación: `a ^ b` en C, Java o JavaScript. Un uso clásico es intercambiar dos variables sin auxiliar o detectar si dos banderas difieren: `if (esAdmin ^ esInvitado)`.
Cotidiano: «El menú incluye sopa o ensalada» en un restaurante suele ser exclusivo: no puedes pedir ambas.
Relación con otras leyes
Es la negación del bicondicional: p ⊕ q ⇔ ¬(p ⇔ q). Por eso el operador ⇎ («negación del bicondicional») tiene la misma tabla que ⊕.
Aplicando De Morgan al lado derecho se obtiene (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q), una forma normal conjuntiva de XOR.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
Abrir en la calculadora →Operadores relacionados
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre ∨ y ⊕? ▼
∨ es verdadero si al menos una parte lo es (incluidas ambas); ⊕ es verdadero solo si exactamente una lo es. Difieren únicamente en la fila V, V.
¿XOR es asociativo? ▼
Sí: (p ⊕ q) ⊕ r equivale a p ⊕ (q ⊕ r), y el resultado es V cuando un número impar de variables son V.
¿Qué símbolos acepta la calculadora para XOR? ▼
⊕ y ⊻. Ambos se evalúan igual.