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Ley de Peirce_
La ley de Peirce es una curiosidad notable: es una tautología clásica escrita únicamente con condicionales, sin una sola negación. Su enunciado, ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p, resulta desconcertante a primera vista, pero la tabla de verdad lo confirma en las cuatro filas.
Ejemplo
((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p
Significado de las variables
- ▸ p: «El proyecto se aprueba»
- ▸ q: «Se amplía el presupuesto»
En palabras
Si basta con que «aprobar implique ampliar presupuesto» para que el proyecto se apruebe, entonces el proyecto se aprueba de todos modos.
Tabla de verdad
| p | q | p ⇒ q | (p ⇒ q) ⇒ p | ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p★ |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | V |
Clasificación: Tautología · 4 filas
Enunciado
La ley afirma que ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p es una tautología. Fue formulada por Charles Sanders Peirce, el mismo lógico que contribuyó a formalizar las tablas de verdad.
Su interés teórico es que, añadida a un sistema de lógica intuicionista que solo maneje implicaciones, lo convierte en lógica clásica. Es decir, captura por sí sola toda la «clasicidad» que falta.
Por qué es válida: lectura de la tabla
El único modo de que la implicación exterior sea falsa sería que el antecedente (p ⇒ q) ⇒ p fuese verdadero y p falso. Supongamos p = F: entonces p ⇒ q es V (antecedente falso), así que (p ⇒ q) ⇒ p se convierte en V ⇒ F, que es F. El antecedente resulta falso, y la implicación exterior es V.
Si p = V, el consecuente final es verdadero y la implicación exterior es V sin más. No queda ninguna fila con resultado F, de ahí la tautología.
Por qué resulta contraintuitiva
La fórmula parece «sacar» p de la nada: de una hipótesis sobre p se concluye p. La trampa está en la definición material del condicional, según la cual una implicación con antecedente falso es verdadera.
Precisamente por eso la lógica intuicionista la rechaza: no ofrece una construcción de p, solo descarta la alternativa. Es el equivalente en términos de implicación de lo que el tercero excluido hace con la disyunción.
Relación con la informática
Bajo la correspondencia de Curry-Howard, que asocia proposiciones con tipos y demostraciones con programas, la ley de Peirce corresponde al tipo del operador call/cc (llamada con continuación actual).
Ese paralelismo explica por qué lenguajes con continuaciones o con operadores de control pueden «habitar» un tipo que la programación funcional pura no puede construir.
Relación con otras leyes
Es equivalente, sobre una base intuicionista, al tercero excluido y a la eliminación de la doble negación: añadir cualquiera de las tres produce el mismo sistema clásico.
A diferencia de aquellas, no menciona la negación, lo que la hace especialmente útil al estudiar fragmentos de la lógica que solo contienen el condicional.
Pruébalo tú mismo
Modifica la expresión en la calculadora y observa cómo cambia cada paso de la tabla.
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Preguntas frecuentes
¿Por qué es una tautología si parece sacar p de la nada? ▼
Porque el condicional material considera verdadera cualquier implicación con antecedente falso. Al suponer p falso, el antecedente completo se vuelve falso y la implicación exterior resulta verdadera.
¿Qué relación tiene con call/cc? ▼
Bajo la correspondencia de Curry-Howard, el tipo del operador call/cc es exactamente la ley de Peirce. Es el ejemplo estándar de una fórmula clásica no constructiva con contenido computacional.
¿Es válida en lógica intuicionista? ▼
No. De hecho, añadirla a un sistema intuicionista basta para obtener la lógica clásica completa.